Introducción

Sea $U$ abierto de $\Bbb R^n$, consideremos el problema de Poisson, es decir la siguiente ecuación diferencial para una función $f \in C^2_c(U)$

\[-\Delta u = f\]

que sabemos que su solución está dada por la siguiente función $u=\phi * f$. Por las propiedades de la convolución como $f$ es acotada por suposición tenemos que $u$ es acotada. Por otro lado pensemos que existe otra función $v$ que resuelve el problema y también es acotada. Por el teorema de Liouville como \(\Delta (u-v) = 0\) y es acotada esa diferencia debe ser que $u-v$ es constante.

Ahora usemos la fórmula de Green para $u,v$ recordemos que en cierta manera es la generalización de integrar por partes entonces nos queda lo siguiente para $n$ normal,

\[\int_U \Delta u v - u\Delta v = \int_{\partial U} \partial_nuv - u\partial_nv dS\]

Qué intentamos resolver?

Queremos tener una fórmula para $u(x)$ en un punto $x \in U$ que dependa solo del laplaciano $\Delta u$ y de los valores que toma la función en el borde. Resolviendo este problema vamos a toparnos con una función que aparece en esta fórmula que vamos a llamar función de Green.

Cómo lo resolvemos?

La idea ahora es considerar una bola $B_\epsilon(x) \subset U$ y ahora miramos el dominio dado por $U \setminus B_\epsilon(x)$ y en este dominio aplicamos Green para la función $u$ y la función

\[v(y) = \phi(x-y).\]

Sabemos que la función $v$ así definida es armónica dado que resuelve la ecuación de Laplace. Lo que nos interesa ahora es notar que para Green nos queda lo siguiente

\[\int_U \Delta u v = \int_{\partial U} \partial_nuv - u\partial_nv \quad dS - \int_{\partial B_\epsilon(x)} \partial_nuv - u\partial_nv \quad dS\]

el signo menos aparece porque esta integral en el borde de la bola tiene la otra normal apuntando para adentro.

Lo que hacemos es tender $\epsilon \to 0$ y ver que el término del borde

\[\int_{\partial B_\epsilon(x)} \partial_nuv \to 0\]

por otro lado la otra parte del borde de la bola es tal que nos queda la siguiente expresión

\[\partial_n v = \dfrac{1}{n\epsilon^{n-1}\omega_n }\]

que mágicamente transforma la integral del borde tomando límite en $\epsilon$ en

\[\int_{\partial B_\epsilon(x)} u\partial_nv dS \to u(x).\]

Entonces es buenísimo porque ahora podemos representar a $u(x)$ por medio de unas integrales en el borde,

\[u(x) = \int_U \Delta u v - \int_{\partial U} (\partial_nuv - u\partial_nv) dS\]

Esta fórmula es muy simpática porque en cierta manera nos dice que podemos recuperar el valor de $u$ conociendo su laplaciano y su valor en el borde del mismo. Podemos ser más ambicioses e intentar sacarnos de encima esta normal $n$. Para eso consideremos la función auxiliar que resuelva la siguiente ecuación en $U$

\[\Delta \varphi_x = 0\]

y que en el borde $\partial U$ valga que

\[\varphi_x(y) = \phi(x,y)\]

Si hacemos Green tal como hicimos antes lo que podemos notar es que en este caso nos queda que

\[\int_U \Delta u \varphi_x(y) = \int_{\partial U} (\partial_nu\varphi_x - u\partial_n\varphi_x)dS\]

y usando que sobre el borde $\partial U$ las funciones $\varphi_x(y) = \phi(x,y)$ por como mismo la definimos tenemos que en ese caso si consideramos la función

\[G(x,y) =\phi(x,y) - \varphi_x(y)\]

que llamaremos función de Green de manera que si reemplazamos en la ecuación antes dado nos queda la siguiente igualdad muy simpática

\[u(x) = \int_U \Delta u G(x,y) - \int_{\partial U} u\partial_nG(x,y) dS.\]

Con esto estamos satisfechos porque resolvimos el problema que habíamos planteado.