A finales de noviembre de 2019 el seminario de topología tuvo la oportunidad de escuchar las exposiciones del profesor Damian Osajda . Sus charlas nos iluminaron al respecto de los grupos de Helly que es una nueva familia de grupos que se construyó hace pocos años.

¿Qué son los grupos de Helly?

Una familia de conjuntos tiene la propiedad Helly si la intersección de a pares es no vacía implica que la intersección de toda la familia es no vacía. Esto nombre es sugerido por el resultado clásico de geometría convexa en $\Bbb R^n$.

Un espacio métrico geodésico se dice inyectivo si las bolas cerradas tienen la propiedad Helly. En particular lo podemos pensar para un grafo, que se los conoce como grafos de Helly. Un grupo que actúa de manera geométrica sobre estos grafos se lo llama un grupo de Helly.

La definición si bien es entendible es bastante rebuscada.

Algunos de los resultados que obtuvieron fue mostrar que los algunos grupos de Artin y algunos grupos Garside resultan ser Helly. Yo no sabía casi nada de grupos asi que fue una buena excusa para leer por arriba en el paper Helly meets Garside and Artin las ideas principales en la construcción de los grupos de Artin y los grupos de Coxeter. Por otro lado está buena la idea de la demostración de que los grupos Artin son Helly. Para eso construye unos complejos de Salvetti y de Davies, que tienen unas construcciones extrañas pero parecen estar armadas para que se cumple la prop Helly y después usa resultado globales-locales viendo los cliques maximos para demostrar esto.

Fue uno de los primeros papers que hojeé de manera intensiva (no diría que lo leí) y fue interesante tener una primera vista de como se demuestran resultados en teoría geométrica de grupos hoy en día.

Conclusiones al respecto.

Me gustaría entender mucho más sobre la teoría topológica y combinatórica que hay de fondo de los grupos de Coxeter. Si bien tengo entendido surgen en las álgebras de Lie pero tomaron vida propia viendolas de esta manera más discreta. Una buena referencia parece ser el libro de combinatoria de grupos de Coxeter escrito por Anders Bjorner.

No sé si volveré a leer este paper con más atención, quizá si aprendo más sobre grupos de Coxeter y de Artin puede estar bueno para entender un resultado no trivial sobre ellos.

No llegué a leer la parte de grupos de Garside pero según lo que leí parecen ser de gran importancia así que eventualmente lo podría hacer, aunque requiere bastante conocimiento previo en teoría geométrica de grupos que carezco completamente.

Para finalizar quería decir que está manera bien combinatórica de hacer topología algebraica me parece interesante así que trataré de leer más al respecto.