Durante mis cursadas mantengo una libretita de mano en la que anoto problemas que me gustaría poder resolver. Muchas veces resultan ser ampliaciones de problemas de las guías dadas por los profesores o bien algunas afirmaciones que vi en internet y no supe demostrar. Para no sobrepasarme y meterme en todos los rabbit holes que encuentro, los suelo anotar. Acá voy a transcribir algunos de ellos que me parecieron relevantes.

Topología clásica.

  • Entender la siguiente afirmación: “Un filtro es un ideal doble en el conjunto de partes de $X$”.
  • $H \le G$ grupos topológicos. Si $U$ es un abierto tal que $1 \in U$ y $\overline U \cap H$ es cerrado. Entonces $H$ es cerrado.
  • $N \trianglelefteq G$ entonces $G/N$ es un grupo topológico.

Geometría diferencial.

  • $O_n(\mathbb R)$ es un rdf de $GL_n(\mathbb R)$ debido a Gram-Schmidt.
  • Si $M$ es una variedad diferenciable de dimensión positiva entonces tiene infinitas no contables estructuras diferenciables.
  • Si $M$ tiene borde puede ser que su forma de volumen sea exacta.
  • $G$ abeliano implica $Lie(G)$ es abeliano.
  • Entender el uso de la representación adjunta para demostrar que $exp(x+y)=exp(x)exp(y)$ dado que $[x,y]=0$.

Topología Algebraica.

  • $Y= S^2 \times \mathbb {RP}^{\infty}$ es un CW complejo. ¿Cuál es su homología?
  • Si tomamos $X$ el cuasi-círculo resulta que tiene $\pi_i(X)=0$ pero $X \neq *$, por lo que este espacio no puede ser un CW complejo dado que violaría el resultado de Hurewicz.
  • ¿El revestimiento universal de $M_f$ es algún $M_{\overline f}$? Si lo es, ¿cuál es la relación entre $f$ y $\overline f$?
  • Dar algún ejemplo de $G$ infinito que actúe en $S^n$ de manera propiamente discontinua.
  • ¿Qué tipos de acciones existen de $\mathbb Z/2 \mathbb Z$ sobre las esferas? Quizá intentar clasificarlas en el caso especial de $S^2$.
  • Si existe una resolución proyectiva sobre $\mathbb Z$ luego existe una libre homotópica. ¿Qué interpretación topológica se puede dar?
  • Intentar construír un CW complejo que no sea triangulable (sé que existen pero no sé cuáles son).
  • Dado un espacio métrico $(X,d)$ puedo hacer que $\tilde X$ sea también un espacio métrico.